Conseils utiles

Module de vecteur

Analysons le vecteur. La première coordonnée est $ a_x = 4 $ et la deuxième coordonnée est $ a_y = -3 $. Puisque deux coordonnées sont données, nous concluons que le problème est plat. Vous devez appliquer la première formule. Nous substituons les valeurs de la condition du problème dans celui-ci:

Si vous ne pouvez pas résoudre votre problème, envoyez-le-nous. Nous allons fournir une solution détaillée. Vous pourrez vous familiariser avec le processus de calcul et obtenir des informations. Cela aidera à obtenir un crédit de l'enseignant en temps opportun!

Exemple 1
Trouver la longueur d'un vecteur par ses coordonnées $ overline = (4, -3) $
La solution
La réponse
Longueur du vecteur $ | overline | = 5 $

Nous remarquons immédiatement qu'un problème spatial est posé. À savoir, $ a_x = 4, a_y = 2, a_z = 4 $. Pour trouver la longueur du vecteur, nous utilisons la deuxième formule. Remplacez-le par les inconnus:

Exemple 2
Trouver la longueur du vecteur par les coordonnées $ overline = (4,2,4) $
La solution
La réponse
Longueur du vecteur $ | overline | = 6 $

Le problème est donné à plat à en juger par la présence de seulement deux coordonnées des vecteurs. Mais cette fois, étant donné le début et la fin du vecteur. Par conséquent, nous trouvons d’abord les coordonnées du vecteur $ overline $, et seulement alors sa longueur selon la formule de coordonnées:

Maintenant que les coordonnées du vecteur $ overline $ est devenu connu, vous pouvez utiliser la formule familière:

Exemple 3
Trouvez la longueur du vecteur si les coordonnées de son début et de sa fin sont connues. $ A = (2,1), B = (- 1,3) $
La solution
La réponse
$ | overline| = sqrt <13> $

Dans l'article, nous avons répondu à la question: "Comment trouver la longueur d'un vecteur?" en utilisant des formules. Et aussi considéré des exemples pratiques de résolution de problèmes sur le plan et dans l'espace. Il convient de noter qu'il existe des formules similaires pour les espaces plus que tridimensionnels.

La formule pour la longueur d'un vecteur de dimension n

Dans le cas d'un espace à n dimensions, le module du vecteur a = <a 1 , un 2, , unn > peut être trouvé en utilisant la formule suivante:

| a | = (nunje 2 ) 1/2
Σ
i = 1

Exemples de calcul de la longueur d'un vecteur pour des espaces de dimension supérieure à 3

Solution: | a | = √ 1 2 + (-3) 2 + 3 2 + (-1) 2 = √ 1 + 9 + 9 + 1 = √ 20 = 2√ 5

Solution: | a | = √ 2 2 + 4 2 + 4 2 + 6 2 + 2 2 = √ 4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √ 76 = 2√ 19.

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Je m'appelle Dovzhik Mikhail Viktorovich. Je suis le propriétaire et l'auteur de ce site. J'ai écrit tout le matériel théorique et développé des exercices en ligne et des calculatrices que vous pouvez utiliser pour étudier les mathématiques.

Contenu

Pour souligner qu'il s'agit d'un vecteur (et non d'un scalaire), utilisez la ligne au-dessus, la flèche au-dessus, en gras ou gothique:

L'ajout de vecteurs est presque toujours indiqué par un signe plus:

Multiplication par un nombre - simplement en écrivant côte à côte, sans signe spécial, par exemple:

et le nombre est généralement écrit à gauche.

La multiplication par une matrice est également indiquée en écrivant à côté de celle-ci, sans signe spécial, mais ici la permutation des facteurs dans le cas général affecte le résultat. L'action d'un opérateur linéaire sur un vecteur est également indiquée en écrivant l'opérateur à gauche, sans signe spécial.

Intuitivement, un vecteur est compris comme un objet ayant une magnitude, une direction et (éventuellement) un point d'application. Les bases du calcul vectoriel sont apparues avec le modèle géométrique des nombres complexes (Gauss, 1831). Hamilton a publié les opérations développées avec des vecteurs dans le cadre de son calcul de quaternion (les composants imaginaires du quaternion formaient le vecteur). Hamilton a proposé le terme lui-même vecteur (lat.vector, portant) et décrit quelques opérations d’analyse vectorielle. Ce formalisme a été utilisé par Maxwell dans ses travaux sur l'électromagnétisme, attirant ainsi l'attention des scientifiques sur le nouveau calcul. Gibbs (éléments d'analyse vectorielle) (années 1880) est bientôt sorti, puis Heaviside (1903) a donné à l'analyse vectorielle un aspect moderne. Il n'y a pas de notations vectorielles généralement acceptées: caractères gras, une ligne ou une flèche au-dessus d'une lettre, l'alphabet gothique, etc. sont utilisés.

En géométrie, les vecteurs désignent des segments directionnels. Cette interprétation est souvent utilisée dans l’infographie, la construction de cartes d’éclairage, l’utilisation de normales aux surfaces. En outre, à l'aide de vecteurs, vous pouvez trouver les zones de formes diverses, telles que les triangles et les parallélogrammes, ainsi que les volumes de corps: un tétraèdre et un parallélépipède.
Parfois, une direction est identifiée avec un vecteur.

Un vecteur en géométrie est naturellement associé à un transfert (transfert parallèle), ce qui, évidemment, clarifie l'origine de son nom (vecteur latin, portant) En effet, tout segment dirigé définit sans ambiguïté une translation parallèle d'un plan ou d'un espace, et inversement, la translation parallèle définit de manière unique un seul segment dirigé (sans ambiguïté - si tous les segments dirigés de même direction et de même longueur sont considérés comme égaux, c'est-à-dire qu'ils sont considérés comme des vecteurs libres). .

L'interprétation d'un vecteur en tant que transfert permet de manière naturelle et intuitive d'introduire l'opération d'ajout de vecteurs - en tant que composition (application séquentielle) de deux (ou plusieurs) transferts, il en va de même pour l'opération de multiplication du vecteur par un nombre.

En algèbre linéaire, un vecteur est un élément d'un espace linéaire, ce qui correspond à la définition générale ci-dessous. Les vecteurs peuvent avoir une nature différente: segments dirigés, matrices, nombres, fonctions et autres. Cependant, tous les espaces linéaires de la même dimension sont isomorphes les uns des autres.
Ce concept de vecteur est le plus souvent utilisé dans la résolution de systèmes d’équations algébriques linéaires, ainsi que lorsqu’on travaille avec des opérateurs linéaires (un exemple d’opérateur linéaire est l’opérateur de rotation). On élargit souvent cette définition en définissant une norme ou un produit scalaire (éventuellement les deux), après quoi on opère sur des espaces normalisés et euclidiens, on associe la notion d’angle entre les vecteurs au produit scalaire et la notion de longueur du vecteur à la norme. De nombreux objets mathématiques (matrices, tenseurs, etc.), y compris ceux qui ont une structure plus générale qu'une liste ordonnée finie (et parfois même dénombrable), satisfont les axiomes d'un espace vectoriel, c'est-à-dire qu'ils sont vecteurs du point de vue de l'algèbre. .

L'analyse fonctionnelle considère les espaces fonctionnels - des espaces linéaires de dimensions infinies. Leurs éléments peuvent être des fonctions. A partir de cette représentation d'une fonction, la théorie des séries de Fourier est construite. De même, avec l'algèbre linéaire, une norme, un produit scalaire ou une métrique sur un espace fonctionnel est souvent introduite. Certaines méthodes de résolution d'équations différentielles, par exemple la méthode des éléments finis, reposent sur le concept de fonction en tant qu'élément d'un espace de Hilbert.

La définition la plus générale d'un vecteur est donnée au moyen de l'algèbre générale:

De nombreux résultats de l'algèbre linéaire sont généralisés aux modules unitaires sur des corps non commutatifs et même à des modules arbitraires sur des anneaux. Ainsi, dans le cas le plus général, dans certains contextes, tout élément d'un module sur un anneau peut être appelé un vecteur.

Le vecteur, en tant que structure ayant à la fois une magnitude (module) et une direction, est considéré en physique comme un modèle mathématique de la vitesse, de la force et des grandeurs connexes, cinématiques ou dynamiques. Le modèle mathématique de nombreux champs physiques (par exemple, les champs électromagnétiques ou les champs de vitesse de fluide) est un champ vectoriel.

Des espaces vectoriels abstraits multidimensionnels et infiniment dimensionnels (dans l'esprit de l'analyse fonctionnelle) sont utilisés dans le formalisme lagrangien et hamiltonien, appliqué aux systèmes mécaniques et autres systèmes dynamiques, ainsi qu'à la mécanique quantique (voir Vecteur d'état).

Vecteur - (séquence, tuple) d'éléments homogènes. C’est la définition la plus générale en ce sens que les opérations vectorielles ordinaires peuvent ne pas être spécifiées du tout, être inférieures ou ne pas satisfaire aux axiomes habituels de l’espace linéaire. C’est sous cette forme que le vecteur est compris en programmation, où, en règle générale, il est désigné par un identifiant avec des crochets (par exemple, objet) La liste des propriétés modélise la définition de la classe et de l'état d'un objet accepté dans la théorie des systèmes. Ainsi, les types d'éléments vectoriels déterminent la classe de l'objet et les valeurs des éléments déterminent son état. Cependant, il est probable que cette utilisation du terme dépasse déjà ce qui est généralement accepté en algèbre et en mathématiques en général.

Ajout de vecteurs. Montant vectoriel. Règles pour l'ajout de vecteurs. Somme géométrique. Calculateur en ligne

En mécanique, il existe deux types de quantités:

  • quantités scalaires spécifier une valeur numérique - temps, température, masse, etc.
  • quantités vectorielles qui, avec quelques valeurs numériques, déterminent la direction - vitesse, force, etc.

Nous considérons d’abord l’approche algébrique de l’addition de vecteurs.

Coordonner l'addition de vecteurs.

Donnons deux vecteurs donnés coordonnés (pour calculer les coordonnées d’un vecteur, il est nécessaire de soustraire les coordonnées correspondantes de son début des coordonnées correspondantes de son extrémité, c’est-à-dire de la première coordonnée - la première, de la seconde - la deuxième, etc.):

Ensuite, les coordonnées du vecteur obtenu en ajoutant ces deux vecteurs sont calculées par la formule:

Dans le cas bidimensionnel, tout est absolument analogue, il suffit de supprimer la troisième coordonnée.

Passons maintenant à la signification géométrique de l’ajout de deux vecteurs:

Lors de l'ajout de vecteurs, leurs valeurs numériques et leurs directions doivent être prises en compte. Il existe plusieurs méthodes d'addition couramment utilisées:

  • règle de parallélogramme
  • règle de triangle
  • méthode trigonométrique

Règle de parallélogramme.

La procédure pour ajouter des vecteurs conformément à la règle de parallélogramme est la suivante:

  • dessine le premier vecteur, vu son ampleur et sa direction
  • à partir du début du premier vecteur, tracez le deuxième vecteur, en utilisant également sa magnitude et sa direction
  • compléter le dessin à un parallélogramme, en supposant que deux vecteurs dessinés sont ses côtés
  • le vecteur résultant sera la diagonale du parallélogramme et son début coïncidera avec le début du premier (et donc du second) vecteur.

Règle de triangle

L’addition de vecteurs selon la règle du triangle est la suivante:

  • dessine le premier vecteur en utilisant des données sur sa longueur (valeur numérique) et sa direction
  • dessine le deuxième vecteur à partir de la fin du premier, en tenant compte également de sa taille et de sa direction
  • le vecteur résultant sera un vecteur dont le début coïncide avec le début du premier vecteur et la fin avec la fin du second.

Méthode trigonométrique

Le vecteur d'addition résultant de deux vecteurs coplanaires peut être calculé à l'aide du théorème du cosinus:

F = valeur numérique du vecteur

α = angle entre les vecteurs 1 et 2

L'angle entre le vecteur résultant et l'un des vecteurs d'origine peut être calculé par le théorème du sinus:

α = angle entre les vecteurs d'origine

Un exemple est l'ajout de vecteurs.

La force 1 est de 5 kN et agit sur le corps dans une direction 80 o différente de la direction d'action de la deuxième force, égale à 8 kN.

La force résultante est calculée comme suit:

Fres = 1/2

L'angle entre la force résultante et la première force est égal à:

Et l’angle entre la seconde et la force résultante peut être calculé comme suit:

α = arcsin

Calculateur d'addition de vecteur en ligne.

La calculatrice ci-dessous peut être utilisée pour toutes les quantités vectorielles (force, vitesse, etc.). Le point d'origine du vecteur coïncide avec le début des deux vecteurs source.

Conseil et technique
support de site web: Zavarka Team

Regarde la vidéo: Produit scalaire et module d'un vecteur (Février 2020).