Conseils utiles

Somme des premiers n-termes d'une progression arithmétique

Progression arithmétique La séquence numérique est-elle un1, un2, , unn, pour lequel pour chaque entier positif n, l'égalité vaut:

où d est la différence de progression arithmétique.

Exemple: une suite de nombres 3, 7, 11, 15, 19 ,. est une progression arithmétique avec une différence de d = 4.

Progression arithmétique il y a trois types:

  1. Augmentation - Progression arithmétiquedont la différence est positive Exemple: une suite de nombres 2, 5, 8, 11, 14 ,. est une progression arithmétique croissante, puisque sa différence d = 3.
  2. En déclin- progression arithmétiquedont la différence est négative Exemple: une suite de nombres 100, 98, 96, 94, 92 ,. est une progression arithmétique décroissante, puisque sa différence est d = –2.
  3. Stationnaire- progression arithmétiquedont la différence est zéro Exemple: une suite de nombres 23, 23, 23, 23, 23 ,. est une progression arithmétique stationnaire, puisque sa différence d = 0.

Membres de progression arithmétique

La formule générale pour calculer le nième terme d'une progression arithmétique à partir du premier terme et la différence:

Le terme suivant dans la progression arithmétique peut être trouvé par le terme précédent et la différence:

Le terme précédent de progression arithmétique peut être trouvé par le terme et la différence suivants:

En outre, un membre de la progression arithmétique peut être trouvé si les membres suivants et précédents sont connus:

Résolution de problèmes de progression arithmétique

Considérons quelques problèmes typiques consacrés à la progression arithmétique.

Prouver que la suite donnée par la formule an = 5 + 4n, est l'arithmétique.

Pour prouver que la séquence est arithmétique, il suffit d’obtenir le terme suivant dans cette séquence et de trouver la différence.

unn + 1 = 5 + 4 (n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n

d = an + 1 - unn = 9 + 4n - (5 + 4n) = 9 + 4n - 5 - 4n = 4

Comme la différence est un nombre, cela signifie que ce sera la même chose pour tous les membres de cette séquence. Par conséquent, la séquence est une progression arithmétique.

Trouver la progression arithmétique à 20 termes et la somme des dix premiers si un1 = -18 et d = 5

un20 = un1 + d ⋅ 19 = –18 + 5 19 = 77

S10 = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45

Le nombre 85 est un membre de la progression arithmétique 8, 15, 22, 29 ,. . Trouvez le numéro de ce membre.

Soit n le nombre à trouver.

En appliquant la formule de calcul du nième terme d’une progression arithmétique, on peut obtenir n

En progression arithmétique a8 = 22 et un14 = 34. Trouvez la formule du nième terme.

En appliquant la formule de calcul du nième terme d’une progression arithmétique à partir du premier terme et de la différence, on trouve:

En substituant un dans ces expressions un8 et un14 nous obtenons le système d'équations:

En soustrayant la seconde de la première équation, on peut calculer d:

Remplacez d par la première équation pour obtenir un1:

Ainsi, la formule du nième terme de progression arithmétique ressemble à ceci:

unn = 8 + 2 ⋅ (n - 1) = 8 + 2n - 2 = 6 + 2n

Trouvez le nombre de membres de la progression arithmétique 1, 3, 5, 7 ,. si leur somme est 81.

A partir d’une progression arithmétique donnée, on obtient un1 et d:

Et nous substituons les données connues dans la formule de somme:

La somme des n premiers membres de la progression arithmétique

La somme des premiers membres de la progression arithmétique peut être trouvé par les formules

1)

2) ,

où est le premier membre de la progression, le membre avec le nombre, est le nombre total de membres.

(La deuxième formule est le résultat de la substitution de la formule dans la première formule).

Exemple 1

La progression arithmétique est donnée par la formule

Trouvez la somme des dix premiers membres de la progression.

Pour utiliser la formule, nous devons trouver et:

Alors

Exemple 2

Trouvez la somme des nombres pairs naturels ne dépassant pas 40.

Nous avons devant nous la progression arithmétique: 2, 4, 6, ... 38, 40.

Nous utilisons la formule:

Exemple 3

Combien de nombres naturels consécutifs, à partir de 1, doivent être additionnés pour que leur somme soit égale à 153?

Step () est 1,

Nous passons à la formule:

Puisque nous travaillons avec naturel, alors

Exemple 4

La progression arithmétique est donnée par la formule

Trouvez la somme des membres de cette progression du 5 au 16 inclus.

Trouvez les deux premiers termes de la progression et la différence de la progression:

La séquence de nombres d'une progression arithmétique, commençant à la 5ème (sur 16), est également une progression arithmétique.

Par conséquent, notons, etc., nous considérerons la somme des douze premiers membres de la progression arithmétique <> selon la formule:

Exemple 5

Trouvez la somme des entiers à deux chiffres et non des multiples de 4.

Numéros à deux chiffres: 10, 11, 12, 13, ... 97, 98, 99.

Si vous rayez les nombres qui sont des multiples de 4,

alors les nombres restants ne formeront pas à eux seuls une progression arithmétique, ce qui signifie que nous ne pouvons pas calculer leur somme selon les formules ci-dessus.

Nous ferons ceci:

1) calculer la somme de tous les nombres à deux chiffres,

2) calculer la somme de tous les nombres à deux chiffres multiples de 4, soit 12 + 16 + ... + 96,

3) soustrayez le montant du montant

Donc

Comment trouver le nombre de nombres à deux chiffres multiples de 4?

Indiquez le numéro de série de 96 dans la rangée 12, 16, ... 96 pour. La série elle-même, bien sûr, forme une progression arithmétique ().

Nous allons trouver.

Alors

Donc