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Transformation d'expressions rationnelles: types de transformations, exemples

Les expressions rationnelles et les fractions sont la pierre angulaire de tout le cours de l'algèbre. Ceux qui apprennent à travailler avec de telles expressions, les simplifient et les factorisent peuvent en fait résoudre n'importe quel problème, car la transformation des expressions fait partie intégrante de toute équation sérieuse, de l'inégalité et même d'un problème de texte.

Dans ce didacticiel vidéo, nous verrons comment appliquer correctement les formules de multiplication abrégée pour simplifier les expressions rationnelles et les fractions. Nous allons apprendre à voir ces formules où, à première vue, il n’ya rien. Dans le même temps, nous répétons une astuce aussi simple que la factorisation du trinôme carré par discriminant.

Comme vous l'avez probablement déjà deviné à partir des formules derrière moi, nous étudierons aujourd'hui les formules de la multiplication abrégée, ou plutôt, pas les formules elles-mêmes, mais leur application pour simplifier et réduire les expressions rationnelles complexes. Mais avant de passer à la résolution des exemples, apprenons à connaître ces formules plus en détail ou rappelons-les:

Je voudrais aussi noter que notre système d’éducation scolaire est structuré de manière à ce qu’il en soit de même avec l’étude de ce sujet, c’est-à-dire expressions rationnelles, ainsi que les racines, les modules, tous les étudiants ont le même problème, que je vais maintenant expliquer.

En effet, au tout début de l’étude des formules de multiplication abrégée et, partant, des actions visant à réduire les fractions (c’est autour de la 8e année), les enseignants disent quelque chose comme ceci: «Si vous ne comprenez pas quelque chose, ne vous inquiétez pas, Nous reviendrons sur ce sujet plus d'une fois, au lycée, c'est certain. Nous allons le comprendre. " Eh bien, à la fin de la 9e année, les mêmes enseignants expliquent aux mêmes élèves qui ne savent toujours pas comment résoudre les fractions rationnelles ce qui suit: «Où étiez-vous pendant les deux années précédentes? Il a été étudié en algèbre en 8e année! Qu'est-ce qui pourrait être incompréhensible ici? C'est tellement évident!

Cependant, ce n'est pas du tout facile pour les étudiants ordinaires grâce à de telles explications: ils avaient toujours un gâchis en tête. Nous allons donc analyser maintenant deux exemples simples sur lesquels nous verrons comment distinguer ces expressions dans ces problèmes qui nous mèneront à: formules de multiplication abrégée et comment l’appliquer pour transformer des expressions rationnelles complexes.

Définition et exemples d'expressions rationnelles

Les expressions composées de nombres, de variables, de crochets, de degrés avec les actions d’addition, de soustraction, de multiplication, de division avec la présence d’une ligne de fraction sont appelées expressions rationnelles.

Par exemple, nous avons 5, 2 3 · x - 5, - 3 · a · b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b), (x + 1) · (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3.

C'est-à-dire que ce sont des expressions qui n'ont pas de division en expressions à variables. L'étude des expressions rationnelles commence en 8e année, où elles sont appelées expressions rationnelles fractionnaires. Une attention particulière est portée aux fractions du numérateur, qui sont converties à l'aide de règles de conversion.

Cela nous permet de procéder à la transformation de fractions rationnelles de forme arbitraire. Une telle expression peut être considérée comme une expression avec la présence de fractions rationnelles et d’expressions entières avec des signes d’action.

Les principaux types de transformations d'expressions rationnelles

Les expressions rationnelles sont utilisées pour effectuer des transformations, des regroupements, une coercition similaires et d'autres actions identiques à l'aide de nombres. Le but de telles expressions est la simplification.

Transformer l'expression rationnelle 3 x x x y - 1 - 2 x x y.

On peut voir qu'une telle expression rationnelle est la différence 3 · x x · y - 1 et 2 x x · y - 1. Nous remarquons que leur dénominateur est identique. Cela signifie que la réduction de ces termes prend la forme

3 x x x y - 1 - 2 x x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

La réponse est: 3 x x x y - 1 - 2 x x x y - 1 = x x y - 1.

Effectuer la conversion 2 x x 4 4 ((4) x 2: (3 x x)).

Initialement, nous effectuons les actions entre parenthèses 3 · x - x = 2 · x. Nous représentons cette expression sous la forme 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 x x y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Nous arrivons à une expression qui contient des actions en une étape, c’est-à-dire qu’elle comporte des additions et des soustractions.

Se débarrasser des crochets en utilisant la propriété division. Alors nous obtenons que 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.

Groupez les facteurs numériques avec la variable x, après quoi vous pourrez effectuer des actions avec des pouvoirs. Nous obtenons que

2 x x 4 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (4): 2). (X x 2: x). Y 4 = - 4 x 2.

La réponse est: 2 x x 4 4 (- 4) x 2: (3 x x) = - 4 x x 2 y 4.

Convertir une expression de la forme x. (X + 3) - (3 .x + 1) 1 2. X. 4 + 2.

Commencez par convertir le numérateur et le dénominateur. Nous obtenons ensuite une expression de la forme (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2, et les actions entre parenthèses sont effectuées en premier. Dans le numérateur, les actions sont effectuées et les multiplicateurs sont regroupés. On obtient alors une expression de la forme x. (X + 3) - (3. X + 1) 1 2. X. 4 + 2 = x 2 + 3. X - 3. X - 1 1 2 2 4. X + 2 = x 2 - 1 2 x + 2.

On transforme au numérateur la formule de la différence de carrés, puis on obtient que

x 2 - 1 2. x + 2 = (x - 1). (x + 1) 2. (x + 1) = x - 1 2

La réponse: x. (x + 3) - (3. x + 1) 1 2. x. 4 + 2 = x - 1 2.

Représentation rationnelle

Les fractions algébriques sont le plus souvent simplifiées dans la résolution. Chaque rationnel y est amené de différentes manières. Il est nécessaire d’effectuer toutes les actions nécessaires avec des polynômes afin que l’expression rationnelle finisse par donner une fraction rationnelle.

Représente sous forme de fraction rationnelle a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

Cette expression peut être représentée par 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. La multiplication est effectuée principalement par les règles.

Vous devriez commencer par multiplier, alors nous obtenons que

a 2 - 25 a + 3. 1 a 2 + 5. a = a - 5. (a + 5) a + 3. 1 a. (a + 5) = a - 5. (a + 5). 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Nous produisons une représentation du résultat avec l'original. Nous obtenons que

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3

Maintenant, nous effectuons la soustraction:

a + 5 a. a - 3 - a - 5 a + 3. a = a + 5. a + 3 a. (a - 3). (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) · a · (a - 3) = = a + 5 · a + 3 - (a - 5) · (a - 3) a · (a - 3) · (a + 3) = a 2 + 3 · a + 5 · a + 15 - (a 2 - 3 · a - 5 · a + 15) a · (a - 3) · (a + 3) = = 16 · aa · (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3; (a + 3) = 16 a 2 - 9

Il est alors évident que l’expression originale prendra la forme 16 a 2 - 9.

La réponse est: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9.

Représente x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x sous forme de fraction rationnelle.

L'expression donnée est écrite sous la forme d'une fraction dont le numérateur contient x x + 1 + 1 et le dénominateur 2 · x - 1 1 + x. Il faut faire des transformations x x + 1 + 1. Pour ce faire, ajoutez la fraction et le nombre. On obtient que xx + 1 + 1 = xx + 1 + 1 1 = xx + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = xx + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2x + 1 x + 1

Il en résulte que x x + 1 + 1 2. X - 1 1 + x = 2. X + 1 x + 1 2. X - 1 1 + x

La fraction résultante peut être écrite sous la forme 2 · x + 1 x + 1: 2 · x - 1 1 + x.

Après division, on arrive à une fraction rationnelle de la forme

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) · (2. X - 1) = 2. X + 1 2. X - 1

Vous pouvez le résoudre différemment.

Au lieu de diviser par 2 x - 1 1 + x, nous multiplions par l'inverse de 1 + x 2 x x - 1. Nous appliquons la propriété de distribution et nous obtenons que

xx + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = xx + 1 + 1: 2 · x - 1 1 + x = xx + 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = = xx + 1 · 1 + x 2 · x - 1 + 1 · 1 + x 2 · x - 1 = x · 1 + x (x + 1) · 2 · x - 1 + 1 + x 2 · x - 1 = = x 2 · x - 1 + 1 + x 2 x 1 = x + 1 + x 2 x 1 = 2 x x 1 2 x

La réponse est: x x + 1 + 1 2. x - 1 1 + x = 2. x + 1 2. x - 1.

Réduction des fractions rationnelles simples

La première chose à apprendre est de sélectionner les carrés exacts et les degrés supérieurs dans les expressions originales, sur la base desquels nous pouvons ensuite appliquer les formules. Voyons voir:

Nous réécrivons notre expression en tenant compte de ces faits:

Nous passons à la deuxième tâche:

Il n'y a rien à simplifier, car il y a une constante dans le numérateur, mais j'ai proposé cette tâche simplement pour que vous puissiez apprendre à factoriser des polynômes contenant deux variables. Si le polynôme ci-dessous était écrit à la place, comment le décomposerions-nous?

Résouvons l'équation et trouvons $ x $ que nous pouvons mettre en place des points:

[D = 25-4 cdot left (-6 right) = 25 + 24 = 49 ]

Nous pouvons réécrire le trinôme comme suit:

Nous avons appris à travailler avec le trinôme carré. Pour cela, nous devions enregistrer ce didacticiel vidéo. Mais que se passe-t-il si, outre $ x $ et une constante, il reste encore un autre $ y $? Considérons-les comme un autre élément des coefficients, c.-à-d. nous réécrivons notre expression comme suit:

Nous écrivons la décomposition de notre construction carrée:

[ left (x-y right) left (x + 6y right) ]

Donc, si nous retournons à l'expression originale et la réécrivons avec les modifications, nous obtenons ce qui suit:

Que nous donne un tel disque? Rien, parce qu'il ne peut pas être réduit, il n'est pas multiplié ou divisé par rien. Cependant, dès que cette fraction s’avère faire partie intégrante d’une expression plus complexe, une telle décomposition sera utile. Par conséquent, dès que vous voyez un trinôme carré (peu importe qu’il soit chargé ou non par des paramètres supplémentaires), essayez toujours de le factoriser.

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Dans cette leçon, nous allons nous entraîner à résoudre divers exemples dans lesquels nous déterminerons à quel ensemble appartiennent certains nombres, ainsi que de simplifier diverses expressions rationnelles fractionnaires.

Nuances de solutions

Rappelez-vous les règles de base pour la conversion d'expressions rationnelles:

  • Tous les dénominateurs et numérateurs doivent être factorisés soit par les formules de multiplication abrégée, soit par le discriminant.
  • Nous devons travailler sur cet algorithme: lorsque nous cherchons et essayons d’isoler la formule de la multiplication abrégée, nous essayons tout d’abord de tout traduire dans toute la mesure du possible. Après cela, nous publions le diplôme général.
  • Très souvent, il y aura des expressions avec un paramètre: d'autres variables apparaîtront sous forme de coefficients. Nous les trouvons par la formule de décomposition carrée.

Ainsi, dès que vous voyez des fractions rationnelles, la première chose à faire est de décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs (en expressions linéaires), tout en utilisant les formules de multiplication abrégée ou discriminante.

Regardons quelques expressions rationnelles de ce type et essayons de les factoriser.

Faits clés

Rappelez-vous les faits de base liés aux types de nombres qui nous seront utiles.

Définition d'un degré avec un indicateur entier - pour tout:

Type standard de numéro - enregistrez le numéro sous la forme:

,

où est le tout.

Racine carrée arithmétique:

Nombres rationnels appeler les numéros qui peuvent être représentés comme une fraction - naturel. Les numéros qui ne peuvent pas être représentés sous cette forme sont appelés irrationnel.

Les nombres rationnels et irrationnels forment un ensemble valide (ou matériel) des nombres.

Passons à la résolution des exemples.

Tâche 1 Écrivez les nombres dans l'ordre croissant:

Indiquez tous les nombres irrationnels.

Il y a plusieurs façons de comparer les chiffres. Par exemple, déterminer le signe de leur différence: si, et vice versa.

Une autre méthode consiste à comparer les nombres écrits dans un format. Par exemple, il est pratique de comparer les nombres écrits en fractions décimales.

Simplifiez d’abord certains des chiffres présentés:

Nous savons que les nombres négatifs sont toujours moins que positifs. Par conséquent, les trois plus petits nombres de cet ensemble: (dans cet ordre) (voir Fig. 1).

Fig. 1. Illustration pour l'exemple 1

Reste à comparer les chiffres. Tout d'abord, nous définissons les intervalles dans lesquels les racines seront localisées (évaluons leurs valeurs):

Ainsi (voir Fig. 2).

Fig. 2. Illustration pour l'exemple 1

Nous obtenons cela (voir Fig. 3).

Fig. 3. Illustration pour l'exemple 1

Il est clair que la fraction correcte.

Il reste à comparer les chiffres (voir Fig. 4).

Fig. 4. Illustration pour l'exemple 1

Mais nous allons pratiquer la traduction d'une fraction périodique infinie.

Si on soustrait le premier de la seconde égalité, on obtient:

Nous écrivons donc l'ordre final des nombres:

Il reste à trouver des nombres irrationnels. Rappelons que ce sont des nombres qui ne peuvent pas être représentés comme des fractions.

Nous rencontrons généralement des nombres irrationnels écrits à l'aide de racines carrées. Mais tous les nombres qui utilisent la racine carrée dans l'enregistrement ne seront pas irrationnels.

bien orthographié en utilisant la racine carrée.

Mais les racines sont vraiment équivalentes à représenter sous la forme de fractions ne fonctionnera pas. Par conséquent, ces chiffres seront irrationnels.

Réponse: irrationnel.

Tâche 2 Calculer la valeur d'une expression:

Enregistrez le résultat sous forme standard.

Par définition d'un degré avec un indicateur négatif:

Selon la définition de zéro degré:

Écrivez le numéro):

Réponse:

Simplification des expressions rationnelles fractionnaires

Nous allons maintenant examiner les tâches relatives à la simplification des expressions rationnelles fractionnaires. L'algorithme pour travailler avec eux est le même que pour les fractions ordinaires. Rappelez-le.

Algorithme pour simplifier les expressions rationnelles fractionnaires

1. Une fraction peut être simplifiée en factorisant son numérateur et son dénominateur et en réduisant les mêmes facteurs:

2. Pour additionner et soustraire des fractions, vous devez les amener à un dénominateur commun:

3. Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et leurs dénominateurs. En conséquence, lorsque vous augmentez une fraction à une puissance, le numérateur et le dénominateur doivent être portés à la puissance:

4. Pour diviser l'expression en une fraction, vous devez la multiplier par la fraction inverse.

Dans ce cas, les compétences que nous avons déjà acquises pour décomposer des polynômes en facteurs nous seront utiles:

Tâche 3. Réduire la fraction:

Indiquez les valeurs valides des variables dans la fraction initiale et dans l'expression qui sera obtenue après simplification.

Pour réduire la fraction, il est nécessaire de factoriser le numérateur et le dénominateur.

Considérons le numérateur. Facteur Out

Facteur le dénominateur. Mettez le facteur commun entre parenthèses et appliquez la formule de la multiplication abrégée (la différence des carrés):

Pour que cette expression ait un sens, il est nécessaire que le dénominateur de la fraction ne soit pas égal à zéro. En conséquence,

Réduisez la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par des facteurs communs.

Nous ne pouvons pas diviser le numérateur et le dénominateur par:

Vous pouvez également réduire le numérateur et le dénominateur de la fraction en:

Considérons les valeurs valides des variables. Le dénominateur n'est pas égal à zéro, c'est-à-dire

Comme vous pouvez le constater, les zones de valeurs acceptables sont différentes. C'est la transformation.

Réponse:

Tâche 4 Trouvez la valeur de l'expression quand:

Tout d'abord, simplifiez l'expression d'origine. Pour additionner et soustraire des fractions, on les amène à un dénominateur commun. Pour ce faire, nous factorisons les dénominateurs.

Nous décomposons le dénominateur de la première fraction en facteurs en utilisant la formule de la différence des carrés:

Les facteurs résultants sont similaires aux dénominateurs des deuxième et troisième fractions. Pour qu'ils coïncident complètement, nous enlevons le signe moins de la première tranche et échangeons les termes résultants:

Nous apportons toutes les fractions à un dénominateur commun:

L'expression résultante peut être divisée en: nous n'exécuterons pas, nous obtenons:

Nous avons simplifié l’expression autant que possible (c’est-à-dire que nous avons réduit le nombre d’actions à effectuer pour calculer la valeur de l’expression). Maintenant remplacez la valeur:

Réponse:

Tâche 5 Effectuer des actions et simplifier l'expression résultante:

Nous effectuons les actions une à la fois - première division, puis multiplication:

Étape 1. La division en une fraction est remplacée par la multiplication par l'inverse (inversé):

Pour plus de commodité, imaginez le premier facteur sous la forme d’une fraction:

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et leurs dénominateurs:

Étape 2. Encore une fois, pour multiplier les fractions, multipliez leurs numérateurs et leurs dénominateurs:

Nous avons complété toutes les étapes. Reste à simplifier l'expression résultante. Pour ce faire, nous décomposons le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue.

Le premier facteur est décomposé par la formule de la différence de carrés:

En conséquence, nous obtenons:

Factor le dénominateur:

Dans une expression qui peut être mise entre parenthèses:

Dans le deuxième support est le carré de la différence:

En conséquence, nous obtenons le dénominateur:

Et la fraction entière prend la forme:

Nous voyons des facteurs communs. Simplifiez l'expression en réduisant le numérateur et le dénominateur de:

Réponse:

Tâche 6 Pour simplifier l'expression:

Simplifions les actions:

Étape 1. Pour soustraire des fractions, on les amène à un dénominateur commun:

Simplifier la fraction résultante en éliminant le facteur commun au numérateur:

Étape 2. Effectuer la multiplication:

Immédiatement, nous voyons le facteur commun permettant de réduire la fraction:

Dans le deuxième facteur du dénominateur, vous pouvez encadrer l'expression:

Il peut être réduit de:

Faites attention aux facteurs. Nous pouvons mettre le signe moins entre parenthèses afin de les réduire davantage:

Étape 3. Remplacez l’opération de division par la multiplication par la fraction inverse:

Simplifier la fraction résultante

1. Dans le premier facteur du dénominateur, on voit la formule du carré de la différence:

2. Le deuxième facteur du dénominateur a des termes similaires:

3. Le numérateur a une expression. Et comme il n'y a pas d'expressions avec des racines dans la condition, une telle factorisation n'est pas nécessaire.

En conséquence, nous obtenons la fraction:

Réduire par des facteurs communs:

Étape 4. Effectuez l'addition:

Pour ajouter des fractions, nous les amenons à un dénominateur commun. Les dénominateurs étant les mêmes jusqu’à un signe, il suffit donc de multiplier le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction par:

Simplifiez l'expression résultante - utilisez la formule de la différence de carrés:

Réponse:

Ainsi, comme vous l'avez vu, pour compléter la tâche avec des expressions rationnelles fractionnaires, vous devez être capable de:

  1. polynômes de facteurs,
  2. être capable d'effectuer des actions avec des fractions: conduire à un dénominateur commun, multiplier et diviser des fractions.

Tout le reste est déjà une technique développée en résolvant un nombre suffisant d'exemples.

  1. Nikolsky S.M., Reshetnikov N.N., Potapov M.K., Shevkin A.V. Algèbre, 8e année. Le manuel - M.: FEM, "Education", 2018.
  2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. Algèbre, 8e année. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

2. Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)

3. Интернет-портал school-assistant.ru (Источник)

2. Упростить выражение:

3. Доказать тождество:

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